這個章節我們帶到的概念是網路流Network Flow，這個演算法通常用於當我們需要解決涉及到資源分配、物流配送、網路連接等問題時。

網路流Network Flow

簡單介紹一下什麼是網路流，網路流問題通常可以表示為一個有向圖Directed Graph，這個圖由一組節點（Nodes）和邊（Edges）組成。每條邊代表了節點之間的“路徑”，並且每條邊都有一個容量（Capacity），這表示在這條路徑上可以傳輸的最大“流量”（Flow）。我們的目標是從源點（Source）到匯點（Sink）傳輸盡可能多的流量，這就是網路流問題的核心。

在處理網路流問題時，有幾種經典的演算法可以使用，以下是其中最重要的兩種：

1. 福特-福爾克森演算法Ford-Fulkerson Algorithm

這是最基礎的網路流演算法之一。福特-福爾克森演算法的基本思想是，不斷在網路中找到一條增廣路徑（Augmenting Path），並沿著這條路徑增加流量，直到再也找不到增廣路徑為止。

增廣路徑指的是一條從源點到匯點的路徑，在這條路徑上所有邊的剩餘容量（Residual Capacity）都大於零。當找到一條增廣路徑後，演算法會將這條路徑的最小剩餘容量加到整個網路的總流量中，然後更新剩餘容量。

這個過程會一直持續，直到無法再找到增廣路徑為止，這時候整個網路的最大流量也就計算出來了。這個演算法雖然概念上比較簡單，但其效率可能不高，因為在最壞情況下，可能需要非常多次的增廣路徑搜索。

2. 愛德蒙-卡普演算法Edmonds-Karp Algorithm

愛德蒙-卡普演算法是福特-福爾克森演算法的一個具體實現，它利用了廣度優先搜索（BFS）來尋找增廣路徑。這樣做的好處是每次找到的增廣路徑都是最短的，這樣可以減少總的搜索次數，從而提高演算法的效率。

在實際應用中，愛德蒙-卡普演算法比原始的福特-福爾克森演算法更加常用，因為它的時間複雜度可以保證為 (O(VE^2))（其中 (V) 是節點數，(E) 是邊數）。這意味著即使在相對較大的圖中，這個演算法也能在可接受的時間內完成。

網路流演算法的應用

1. 交通流量管理：在城市交通網絡中，如何有效地管理車輛流量以減少交通堵塞，是一個典型的網路流問題。演算法可以幫助計算出最優的車輛路徑分配方案，以確保交通的順暢。

2. 供應鏈管理：在供應鏈管理中，我們需要確保產品能夠從生產者順利送達消費者手中。這個過程可以抽象為一個網路流問題，演算法可以幫助我們優化物流路徑，降低成本。

3. 最大匹配問題：在人員分配、任務指派等問題中，如何找到最優的匹配方案，可以通過將問題轉化為網路流問題來解決。比如，如何將員工分配到最適合的工作崗位。